ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ СГУ ПО МАТЕМАТИКЕ. 3-5 КУРС

Опубликовано пользователем Дмитриев П.О. 04.03.2010г.

Год проведения: 
2008-2009 уч.год
  1. Пусть случайная величина $ \xi $ распределена равномерно на отрезке $ [0,1] $. Как распределена случайная величина $ 1-\xi $ ?
  2. Доказать, что при $ a,b\geq 1 $ выполняется неравенство $ ab\leq e^{a-1}+b\ln b $.
  3. Доказать, что уравнение $ (2z+1)e^z=2z+3 $ не имеет корней с положительной действительной частью.
  4. Доказать, что если сопряженное пространство $ E^* $ сепарабельно, то само линейное нормированное пространство $ E $ тоже обладает этим свойством. Верно ли обратное?
  5. Найти все дифференцируемые на своей области определения функции, удовлетворяющие функциональному уравнению. $ f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)} $.
  6. Доказать, что среди чисел $ 0,1,2,\dots,3^k-1 $ можно найти $ 2^k $ различных чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других.

Баннер SGU.RU