ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ СГУ ПО МАТЕМАТИКЕ. 3-5 КУРС

Опубликовано пользователем Бессонов Л.В. 27.03.2011г.

Год проведения: 
2010-2011 уч.год
  1. Доказать, что любую дробь $ m/n\in\mathbb Q\cap (0,1) $ можно представить в виде $ \sum\limits_{i=1}^rq_i^{-1} $, где $ 1<q_1<q_2<\dots<q_r $, $ q_i\in\mathbb N $ и каждое $ q_i $ делится на $ q_{i-1} $ при $ i\geq 2 $.
  2. Найти все нули функции $ f(x)=a\cos(x+1)+b\cos(x+2)+c\cos(x+3) $, если известно, что $ f(x) $ в $ (0,\pi) $ имеет не менее двух корней.
  3. Решить систему дифференциальных уравнений ($ x=x(t) $, $ y=y(t) $)
    $$\begin{cases}
y''+(y')^2/y=x'+xy'/y\\
x'y+xy'=1.
\end{cases}
$$
  4. Игрок $ A $ бросает монету $ n+1 $ раз, а игрок $ B $ ~--- $ n $ раз, $ n\in\mathbb N $. Какова вероятность того, что в итоге у $ A $ выпадет больше "орлов", чем у $ B $.
  5. Доказать, что интеграл $ \int^\infty_0\frac{dx}{(1+x^2)(1+x^\alpha)} $ сходится при $ \alpha>0 $ и его значение не зависит от $ \alpha $.
  6. Пусть $ A $ и $ B $ ~--- компакты в банаховом пространстве $ X $. Тогда найдутся элементы $ x_0\in A $, $ y_0\in B $, такие что $ \rho(A,B):=\inf\limits_{x\in A}\inf\limits_{y\in B}\|x-y\|_X $ равно $ \|x_0-y_0\|_X $.

Баннер SGU.RU