ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ СГУ ПО МАТЕМАТИКЕ. 1-2 КУРС

Опубликовано пользователем Калькаев Д.Ю. 02.04.2012г.

Год проведения: 
2011-2012 уч.год
  1.  Известно, что  сумма цифр натурального числа $ A $ равна сумме цифр $ 3A. $ Доказать, что а) $ A $ делится на 3; б) $ A $ делится на 9. в) Верно ли, что $ A $ делится на 27?
  2.  Пусть $ \{a_1,a_2,\dots, a_n\}-- $ арифметическая прогрессия. Доказать что
    $$\frac{1}{a_1a_n}+\frac{1}{a_2a_{n-1}}+\dots+\frac{1}{a_na_1}=\frac{2}{a_1+a_n}\left(\frac{1}{a_1}+ \frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}\right).$$
     
  3. Пусть $ a, b, c $ - стороны треугольника. Доказать, что $ (a+b+c)^2\leq 4(ab+bc+ac) $.
  4. Доказать, что $ \sin x\leq x(\pi-x)/2 $, где $ 0\leq x\leq \pi/2 $.
  5. Пусть $ A $ - матрица размера $ n \times n $, $ n $ нечетное. Доказать, что определитель разности матрицы $ A $ и транспорированной матрицы $ A^T $ равен нулю.
  6. Существует ли непрерывная $ f:\mathbb R\to\mathbb R $, такая что значения $ f(x) $ иррациональны при иррациональных $ x $?

Баннер SGU.RU