ЗАДАЧИ СТУДЕНЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ СГУ ПО МАТЕМАТИКЕ. 1-2 КУРС

Опубликовано пользователем Калькаев Д.Ю. 11.04.2013г.

Год проведения: 
2012-2013 уч.год
  1. Квадратный трехчлен $ f(x)=x^2+ax+b $ имеет целые корни, по модулю большие двух. Доказать, что число $ a+b+1 $ является целым составным.
  2. Точка $ M $ пересечения медиан $ AA_1 $, $ BB_1 $, $ CC_1 $ треугольника $ ABC $ является центром окружности, вписанной в треугольник $ A_1B_1C_1 $. Доказать, что треугольник $ ABC $ ~--- равносторонний.
  3. Пусть функции $ f(x) $, $ g(x) $, $ h(x) $ являются непрерывными на $ [a,b] $. Обязательно ли будет непрерывной функция $ \max(f(x),g(x),h(x)) $?
  4. Доказать, что на $ (0,\pi/2) $ справедливо неравенство $ \sin x+\tg x>2x $.
  5. Имеется 7 мешков с монетами, в каждом из них по сто монет. В некоторых мешках все монеты фальшивые (по 9 грамм), в остальных -- все монеты настоящие (по 10 грамм). Как за одно взвешивание на одночашечных весах со стрелкой найти все мешки с фальшивыми монетами?
  6. Может ли многочлен $ F(x,y)=x^9y^8-2 $ от двух переменных равняться произведению многочленов от $ x $ и от $ y $?

Баннер SGU.RU